Esperanzas matemáticas.

¡Hola corazones!

A las 9 de la mañana de mañana, sábado, 22 de diciembre de 2.007, se tiene previsto que comience el gran Sorteo Extraordinario de Navidad. Los niños del colegio de San Ildefonso volverán a poner la garganta a pleno rendimiento para que todos disfrutemos con la emoción y la ilusión de salir premiados a lo largo de la mañana. En total, se destinará a premios el 70% de la emisión: un total de 2.142 millones de €uros, con un primer premio, el gordo, de 540 millones (3 millones por serie).

Como os dije en la primera entada de este blog, anteriormente a esto tenía un espacio que me cerraron. De ahí he recuperado una entrada muy elaborada y de la que podréis disfrutar aquí de nuevo.


"Hoy les remito un artículo dentro de la sección de ciencia “Tercer milenio” del periódico Heraldo de Aragón. Hablaba muy oportunamente de las probabilidades de que le toque “el gordo” a una persona. Dada la actualidad ferviente de este artículo, he decidido publicarlo hoy.

PROBABILIDADES. Junto a las luces, el turrón, los regalos o el cava, jugar a la lotería es todo un clásico de estas fechas. Sobre todo como costumbre, y casi como obligación social en Navidades. Hay que jugar en el trabajo, con la familia… a pesar de que lo que matemáticamente esperable es que, al final, hayamos hecho un pago de impuestos voluntarios.

¿ES RENTABLE JUGAR A LA LOTERIA? Para saber las posibilidades de ganancia en la lotería, como en cualquier juego de azar, se calculan las probabilidades de premio y la esperanza matemática de ganancia. El cálculo de las probabilidades de premio se hace con el método clásico: el cociente entre el número de casos favorables a recibir un premio y la totalidad de de los casos posibles. Por ejemplo, en una rifa con cien billetes y un primer premio y dos segundos, la probabilidad de resultar premiado con el primer premio jugando un billete de 1:100=0,01 (o el 1%) y con un segundo 2:100= 0,02 (2%); la de no ser premiado es 97:100=0,97 (97%).

La esperanza matemática de ganancia en un juego es la suma de los productos de las posibles ganancias por las probabilidades de obtenerlas menos el dinero que se paga por participar en el mismo. En la rifa anterior, si cada billete cuesta 3 €uros y el primer premio es un jamón (o su valor de 70 €uros) y los dos segundos una caña de lomo embuchado (30 €uros), la esperanza de ganancia es 70x0,01+30x0,02-3=0,7+0,6-2=-1,7 €uros. Si, como en esta rifa, el número es negativo, el juego es desfavorable para el jugador; si es positivo, es favorable y, si es cero, el juego es equitativo o justo para ambas partes.

¿CUAL ES LA ESPERANZA DE LA LOTERIA DE NAVIDAD? Si mira el reverso del décimo que seguro que tiene, verá cuáles son los premios, en los 85.000 números de Navidad, del 00.000 al 84.999. Con un número, la probabilidad de que toque el “gordo” es 1:85.000=0,00001176, la misma de que toque el segundo o el tercero (un número tan pequeño como muestra el adjunto “Cuento de Navidad”). La de que toque uno de los dos cuartos o de los ocho quintos es 2:85.000 y 8:85.000, respectivamente; la de que se pueda consolar con la “pedrea”, con 1.774 números, es 1.774 veces más que con el gordo. Sumando todos los premios que dice el billete, verá que en total hay 13.334premios (con centenas, terminaciones y demás). Como en algún premio puede coincidir más de un premio, la probabilidad de que un jugador tenga premio con un único billete de un décimo es un poco menor: 13.334:85.000=0,156870588, casi un 16%, algo menos de 1/6. Lo que viene a significar que si alguien juega con asiduidad veinticinco números diferentes cada año, recibiría unos cuatro premios cada año, la mitad de los cuales serían siempre reintegros.

Multiplicando los premios de la lotería por la probabilidad de obtenerlos (le dejamos que se distraiga un poco en hacerlo) verá que la esperanza matemática de ganancia para un décimo (que como sabe cuesta 20 €uros) es de -6€: el juego es desfavorable, por supuesto. Indica que si se juega durante muchos años en el sorteo d Navidad se pierden “en promedio” treinta céntimos de €uro por cada €uro invertido en la compra de los billetes (todo esto podría haberse sabido sin haber hecho ningún cálculo sabiendo que se destina a premios el 70% de la recaudación). En consecuencia, todo ese dinero que perdemos mucha gente lo ganan unos pocos (los que tienen los premios mayores) y sobre todo el organizador de la lotería: el Estado gana siempre. En todo caso sirve de consuelo que el Estado somos todos.

¿Y LA PRIMIIVA O EL EUROMILLÓN? Entre las nuevas loterías, la Primitiva y el Euromillón son las más populares a pesar de no ser mejor su esperanza matemática. Lo que pasa es que esta repartida de otra forma: los premios pueden ser mucho más grandes. Es lo que se suele conocer como “la apuesta de Pascal”, que fue quien la formuló hace más de 300 años para demostrar la conveniencia de seguir los preceptos religiosos. En esencia decía: “aunque la probabilidad de que sean ciertos fuera pequeña, como la ganancia esperada por cumplirlos es infinita (la gloria eterna), la esperanza de la apuesta vale la pena”. Eso pasa con estos juegos: hay poca probabilidad de acertar pero, si nos toca, pasamos a ricos de verdad de un golpe.

¿Y LOS SEGUROS? Hay casos, sin embargo, en los que es útil apostar. Para calcular la prima de un seguro se hace lo mismo que en las loterías: las empresas lo calculan hallando la esperanza del total de posibles riesgos que aseguran (multiplicando la probabilidad –que conocen por lo que ha pasado los últimos años- por el costo medio de cada uno de ellos); a eso le añaden sus ganancias. Y en ese caso los asegurados no tenemos ningún interés en lograr el premio: el siniestro. Al jugar a la “lotería” del seguro –es decir, hacerse un seguro- , pagando una cantidad no muy grande cada año (o una sola vez en seguros de viaje por ejemplo) esperamos tener como premio que, si nos ocurre un desastre –que es poco probable pero posible-, lo podamos afrontar. Es desde luego una decisión del todo lógica."

P.D.: Pese a lo poco probable de la apuesta, suerte a todos. ¿Jugáis a la lotería? ¿Por qué? ¿La ilusión por ganar algún premio es siempre la misma, año tras año?

Hasta pronto corazones.